Dépendance de la position et du temps

En théorie vous pouvez passer en auto, à 200km/h, porte d'Orléans, à 18h, mais en théorie seulement. En pratique, à 18h, porte d'Orléans, vous ne dépasserez pas le 20km/h. votre vitesse dépend alors de l'heure qu'il est, à cause de votre position. Aucune indépendance ici entre la vitesse, la position et le temps.

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Comme je l'ai évoqué dans mon article précédent, je vais montrer ici que le second postulat de la mécanique classique (MC) est faux. C'est celui de l'indépendance de la vitesse, de la position et du temps.
La mécanique considère en effet qu'un mobile peut occuper une position donnée avec des vitesses différentes, à des heures différentes. Ou encore qu'il peut avoir une vitesse donnée à n'importe quelle position et n'importe quelle heure. Par conséquent elle postule que la vitesse, la position et le temps sont indépendants.

Du conditionnel, au présent

Regardons cela de plus près. Si j'occupe une position donnée à un temps donné, la MC me dit que je pourrais occuper une autre position au même instant. Certes, en théorie, je pourrais, si j'avais parcouru une autre trajectoire, c'est à dire si j'avais un autre passé. Mais en pratique ?

Pour répondre à cette question, il suffit de transformer l'énoncé précédent, du conditionnel, au présent de l'indicatif. Cela donne : si j'occupe une position donnée à un temps donné, la MC me dit que je peux occuper une autre position au même instant. A l'évidence cette proposition est fausse. En MC, un système ne peut occuper deux positions simultanément, l'expérience le prouve largement. Notons que cette phrase serait vraie en Mécanique Quantique, mais ce n'est pas ici mon propos.

En théorie vous pouvez passer à 200km/h porte d'Orléans, à 18h, mais en théorie seulement. Si vous voulez réaliser cela en pratique, vous devrez dépenser tellement d'énergie (achat d'une grosse voiture, détournement de la circulation, reprogrammation des feux, gendarmerie sur le pied de guerre, …) que vous ne serez plus du tout dans des conditions naturelles. Et si vous y parvenez un jour, il y a peu de chance qu'on vous laisse faire aussi le lendemain, pour montrer l'indépendance du temps.

Etant donné son histoire, un mobile ne peut occuper une position donnée, qu'à une vitesse et un instant donnés. Si on fait abstraction de l'histoire, c'est à dire des conditions initiales, en permettant qu'elles soient quelconques, on s'écarte de la réalité expérimentale. Un mobile, à tout instant, ne peut choisir aléatoirement une histoire quelconque. Il ne peut échapper à la sienne, et c'est à cause d'elle qu'à l'instant d'après il ne peut se trouver qu'en un lieu, et une vitesse, donnés.

Modification du second postulat

Nous devons donc considérer que la position et le temps ne sont pas indépendants, mais dépendent l'un de l'autre selon la formule : $\vec r = f(t)$ et $t = f^{-1} (\vec r)$.
En quoi consiste la fonction f, nous importe peu pour l'instant. Nous considérons simplement que le temps et la position sont liés par une bijection, car à chaque instant doit correspondre un temps, et vice versa, sauf à ce que le mobile … soit fixe, bien sûr.

La vitesse, qui est forcément une fonction de $\vec r$ et de $t$, peut alors s'écrire sous deux formes, l'une dépendant uniquement du temps, l'autre uniquement de la position. On a en effet

$\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = g(\vec r, t) = g(f(t),t) = \vec a(t)$
et
$\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = g(\vec r, t) = g(\vec r , f^-1 (\vec r)) = \vec b(\vec r)$

Les fonctions $\vec a$ et $\vec b$ sont deux expressions différentes de $\vec v$, ayant la même valeur. Telle est la conséquence de la dépendance de la position et du temps. Cela va avoir des conséquences sur la fonction de Lagrange.

Conséquences sur la mécanique lagrangienne

Nous avons vu, dans mon article précédent, que le lagrangien est la fonction mathématique sensée décrire toutes les propriétés physiques d'un système. Nous avons vu aussi qu'il doit dépendre a minima de la vitesse, de la position et du temps : $L=L(\vec v, \vec r, t)$. On voit dès lors, en procédant comme au paragraphe précédent, que le lagrangien peut avoir plusieurs écritures mathématiques différentes :

$L(\vec v, \vec r, t) = A(t) = B(\vec r) = C(\vec v)$

$A$, $B$ et $C$ sont trois écritures mathématiques possibles du lagrangien, ayant la même valeur que $L$, mais ne dépendant chacune que d'une seule variable, soit le temps, soit la position, soit la vitesse..

Si maintenant on opère une variation à $L$, on fera de même sur $A$, $B$ et $C$ :

$\delta L = \delta A = \delta B = \delta C$

On doit dès lors obtenir 3 séries d'équations, pour les trois dimension de l'espace, telles que :

$\frac{\partial L}{\partial q} \delta q +\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q = \frac{\partial A}{\partial t} \delta t = \frac{\partial B}{\partial q} \delta q = \frac{\partial C}{\partial \dot q} \delta \dot q$
avec $q=x,y,z$.

Opérons alors la variation de l'action, qui est l'intégrale du lagrangien par rapport au temps, et faisons le usuellement, c'est à dire en considérant que la variation de la variable $\delta q$ est nulle aux deux bornes de l'intervalle d'intégration, et que $\delta t$ est toujours nulle. On peut alors écrire :

$\delta S = \int_{t_0}^t \frac{\partial B}{\partial q} \delta q dt =\int_{t_0}^t \frac{\partial C}{\partial \dot q} \delta \dot q dt = \left[ \frac{\partial C}{\partial \dot q}\delta q \right]_{t_0}^t - \int_{t_0}^t \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \right)\delta q dt$

Remarquant que $d (\delta q) / dt = \delta \dot q$, on obtient une relation entre $B$ et $C$, sans devoir forcément imposer $\delta S = 0$, comme le réclame le troisième postulat de la mécanique classique (voir mon article précédent). Cette relation est :

$\frac{\partial B}{\partial q} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \right) $

Elle est proche de l'équation de Lagrange classique, mais elle n'est pas tout à fait identique. Son intérêt premier est qu'elle n'est pas seule.
En effet, la variation que nous venons de mener entre $B(q)$ et $C(\dot q)$, peut être menée identiquement entre deux autres lagrangiens, par exemple entre $D(\chi)$ et $B(q)$, où $\chi$ est l'intégrale de la position par rapport au temps, $\chi = \int q dt$, tout comme la vitesse est l'intégrale de l'accélération par rapport au temps, $\dot q = \int \ddot q dt$. On obtient alors la relation suivante :

$\frac{\partial D}{\partial \chi} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial B}{\partial q} \right) $

Ces deux dernières équations, remplaçant les équation de Lagrange, vont permettre de déterminer la structure mathématique du lagrangien, sans plus avoir à la postuler. C'est ce que je montrerai dans mon prochain article.

HCl

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