mercredi 30 avril 2014

Principe d'équivalence : une synthèse des discussions

Mon article « L'inéquivalence d'Einstein » a suscité nombre de réactions. Parmi les nombreuses discussions sur Internet, certaines questions et remarques reviennent souvent. Voici une synthèse de celles-ci, avec les réponses qui me paraissent adaptées.

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Orbite et trajectoire

Il est apparu, pour certain, qu'il y avait une différence profonde entre une orbite et une trajectoire, notamment en ce qui concerne la gravitation :

orbite n'est pas synonyme de trajectoire. Une orbite (circulaire) peut etre defini comme une trajectoire régie uniquement par la gravite. Une trajectoire est n'importe quoi en mouvement, et si c'est circulaire autour d'un objet, ainsi soit-il.

A cela une réponse simple : toute orbite est une trajectoire, mais toute trajectoire n'est pas une orbite. Pour ceux qui souhaitent en savoir plus sur la définition du mot « orbite », je renvoie à Wikipedia : orbite.
A l'évidence, la cinématique ne fait aucune distinction entre orbite et trajectoire, car pour elle l'orbite est une trajectoire. Et puisque la cinématique n'est pas affectée, qu'on parle d'orbite ou de trajectoire ne change rien au principe d'équivalence d'Einstein.

Localité du principe d'équivalence

Une autre remarque concerne la localité du principe d'équivalence. En effet ce principe s'énonce ainsi : Localement, les effets d'un champ gravitationnel sur une expérience de mécanique sont identiques aux effets d'une accélération du référentiel de l'observateur. (voir Wikipedia : Principe d'équivalence)

Certains font alors remarquer que je parle d'orbites complètes, et qu'alors il ne s'agirait plus d'une description locale, mais globale :

Rappelons que le principe d'équivalence n'est valable que … dans un voisinage infinitésimal du dit objet => donc tout raisonnement d'invalidation du p.e. avec des orbites est faux

Filmons la trajectoire du satellite avec une caméra ultra rapide. Ne gardons que les deux premières images du film. C'est ce genre d'intervalle qu'Einstein appelle « local » . Et bien dans cet intervalle, vous ne pourrez pas accélérer en restant sur la même orbite circulaire. L'effet que je décris est donc bien local, au sens d'Einstein.

Localité et calcul infinitésimal

En fait, ce que veut faire Einstein, avec son principe d'équivalence, c'est appliquer, à l'échelle locale, donc infinitésimale, la relativité restreinte. Or cette dernière n'est valable que pour des translations. Il postule donc qu'une trajectoire naturelle peut être assimilée localement à une succession de segments de droites, extrêmement petits bien sûr. En cela il rejoint le principe du calcul différentiel et intégral qui prétend lui aussi qu'une courbe peut être assimilée à une succession de segments de droites, les plus petits possibles.

Exemple de méthode utilisée en calcul intégral. L'aire sous la courbe est calculée par approximation d'une addition de rectangles. Moins les rectangles seront larges, et moins grande sera l'erreur sur la valeur réelle de la surface située sous la courbe. En pratique, aussi petite soit l'erreur, elle existera toujours

Dès lors, ne pas accepter le principe d'équivalence d'Einstein revient à dire qu'une courbe ne peut pas être assimilée à une succession de droites. Par conséquent il faudrait aussi renoncer au calcul différentiel.
Beaucoup de remarques ont porté sur ce sujet, celle ci par exemple :

"Ce que montre l'impossibilité d'une accélération circulaire du satellite est justement qu'à aucune échelle, ou voisinage, une courbe ne peut être assimilable à une droite. "
Pardon ? Là vous êtes en train de dire qu'on ne peut pas définir de dérivée à une fonction courbe quelle qu'elle soit. Wow ...

Il ne faut pas renoncer au calcul différentiel, mais simplement connaître ses limites, qui ont toujours existé. Si on veut mesurer la longueur d'une courbe avec des segments de droites, il y aura forcément une erreur sur la mesure. Essayez chez vous, de mesurer la circonférence d'une table ronde avec un double décimètre droit et rigide. Vous comprendrez vite que votre mesure sera approximative. Bien sûr l'erreur sur la mesure diminue si la longueur des segments de droite diminuent, mais elle ne disparaît jamais. Cette erreur peut être acceptable à échelle humaine, mais il ne faut jamais oublier qu'à l'échelle locale, la mesure d'une courbe par des droites n'est qu'une approximation. Les concepteurs du calcul différentiel, Newton et Leibnitz, l'ont toujours admis.

Une fois cela dit, on peut se demander si la nature, elle aussi, comme le calcul différentiel, découpe les trajectoires en segments de droites. C'est en tout cas ce que postule Einstein avec son principe d'équivalence.
Mais si pour la nature une courbe est une courbe, et pas une succession de droites, le postulat d'Einstein doit être invalidé. Dans ce cas, localement sur le satellite, la poussée mécanique n'est pas équivalente à la force de gravitation. On ne peut pas les additionner en une seule force gravitationnelle plus forte. On ne peut donc pas accélérer un satellite sur une orbite circulaire.

Sur ces deux propositions, l'expérience montre qu'elle s'accorde avec la seconde, mais réfute le postulat d'Einstein. L'expérience montre que la nature, en aucun cas, n'assimile une courbe à une droite, surtout localement.

Le Pr Trélat et le principe d'équivalence

Des questions autour de l'avis du Pr Trélat sur le principe d'équivalence.

A priori le professeur Trélat vous a donné la version classique de la vitesse orbitale,qui vu la faiblesse du champ de gravitation terrestre se justifie selon la façon dont vous lui avez posé la question.
Il en pense quoi du reste de votre remise en cause du principe d'équivalence?

Le Pr Trélat m'a dit qu'il souhaitait se cantonner à son expertise en mathématiques appliquées, et qu'il ne souhaitait pas intervenir dans le domaine de la physique, pour lequel il dit n'avoir aucune compétence. Il ne se prononce donc pas sur le principe d'équivalence.

Accélérer sur une orbite circulaire

Des remarques aussi à propos des moyens nécessaires à accélérer un satellite sur une orbite circulaire. Beaucoup pensent en effet qu'on pilote un vaisseau spatial comme une voiture, ou un avion.

Avec une force continue, on peut rester en orbite circulaire avec n'importe quelle vitesse. A condition d'avoir un (gros) réservoir.

Non, ce n'est pas possible.
Voici quelques articles qui en parlent :

Voici pourquoi.
L'accélération d'un orbiteur est donnée par

$\vec \gamma = - \frac{GM}{r^3} \vec r + \vec \gamma _T$(1)

où $\vec \gamma _T$ est l'accélération due au moteur de l'orbiteur.

Il est relativement simple d'intégrer cette équation dans le cas où $\vec \gamma _T = \vec 0$ , c'est à dire quand il n'y a pas de poussée du moteur. On obtient $\vec v = \vec \omega \land \vec r$ avec $\omega = \sqrt{GM/r^3}$. Le mouvement est alors circulaire uniforme à la vitesse $v = \sqrt{GM/R}$.

Il est beaucoup plus difficile d'intégrer la relation (1) lorsque la poussée $\vec \gamma _T$ n'est pas nulle. En fait personne n'a trouvé de solution générale à ce problème. Certaines solutions particulières peuvent exister, et elles imposent forcément à $\vec \gamma _T$ d'évoluer avec le temps, en intensité et en direction, de façon très particulière. En général ces solutions particulières sont loin d'être optimales, c'est à dire qu'en pratique, si on les utilisait dans l'espace, on brûlerait trop de carburant.

Quoi qu'il en soit, il n'existe aucune solution particulière qui permette d'avoir $\vec \gamma _T$ non nulle, et de rester sur la même orbite circulaire, que celle de l'orbiteur lorsqu'il n'a aucune poussée ($\vec \gamma _T$ nulle). Libre à vous d'essayer de trouver une telle solution, si le cœur vous en dit, vous aurez peut-être plus de réussite que vos prédécesseurs.

HCl

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Mieux que Newton : détermination instantanée des trajectoires

Les lois de Newton possèdent deux défauts majeurs : pas de description analytique de la vitesse, calcul de trajectoire impossible sans passage à la périgée, ou à l'apogée. Deux problèmes aisément résolus par le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK).

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Maintenant que j'ai énoncé le théorème de la cinématique keplerienne (TCK), je vais vous montrer certains des avantages qu'il procure, au regard de ce que nous savons faire, actuellement, avec les lois de Newton (LN).

Avant tout il faut constater que le TCK et les LN sont structurellement différents. En effet le TCK est une équation différentielle du premier degré, liant la vitesse à la position, tandis que les LN mènent à une équation différentielle du second degré, liant la position et l'accélération. On peut résumer ainsi :

Théorème de la Cinématique Keplerienne	$\vec v = \vec {\omega} \land \vec r + \vec v_T$
Lois de la gravitation de Newton	$\vec {\gamma} = \frac{GM}{r^3} \vec r $

Les LN sont suffisantes pour traiter des trajectoires et des accélérations, en revanche elles ne parviennent pas à donner une équation analytique de la vitesse. Au contraire, le TCK donne la vitesse, par définition, et l'accélération, directement par dérivation par rapport au temps. Quand à la trajectoire, le TCK, comme nous allons le voir, la calcule aisément. De cela il résulte que le TCK fait mieux que les LN lorsqu'il s'agit de déterminer instantanément la trajectoire d'un mobile, quand on connaît uniquement sa position et sa vitesse à un instant t. Montrons cela plus avant.

L'avantage du TCK

Imaginez donc un astrophysicien qui vient de découvrir une exoplanète. Il n'en a qu'une photo, donnant sa position $\vec r$, et il possède sa vitesse $\vec v$, déterminée par exemple par effet Doppler. On suppose qu'il connaît aussi la masse de l'étoile autour de laquelle elle gravite, par déduction de sa luminosité par exemple. S'il ne possède que les LN, l'astrophysicien ne pourra pas calculer la trajectoire complète de la planète, avant qu'elle ne passe par un de ses points caractéristiques (apogée et périgée). Si cette Planète est un équivalent de notre Neptune, qui fait le tour du Soleil en près de 165 ans, notre pauvre scientifique devra attendre une vie entière avant de pouvoir calculer la trajectoire. C'est un gros inconvénient.

En revanche, avec le TCK, puisque nous connaissons $\vec r$ et $\vec v$, nous pouvons calculer $\vec L = \vec r \land \vec v$, et dès lors le module de la vitesse de rotation $v_R = \sqrt{GM/L}$. Nous savons aussi déterminer la direction du vecteur $\vec v_R$, car il est toujours perpendiculaire au rayon $\vec r$. Enfin, nous déduisons la valeur de la vitesse de translation $\vec v_T$ par la simple formule $\vec v_T = \vec v - \vec v_R$.

Maintenant que nous connaissons tout cela on peut calculer le paramètre de la conique, $p = GM/v_R^2$, et son excentricité, $e = v_T / v_R$. Dès lors nous avons tout ce qu'il nous faut pour calculer la trajectoire complète, instantanément.

Gros avantage pour le TCK, donc, en regard des LN. Bien sûr ce que je viens de vous raconter à propos de l'exoplanète peut être appliqué à d'autres problèmes. Pour les déchets spatiaux par exemple. En une « photo» on connaît immédiatement la trajectoire d'un débris, on peut donc placer un « camion poubelle » précisément pour le récupérer. Plus besoin de systèmes complexes, et coûteux, de suivi pour déterminer sa trajectoire. Autre application, militaire celle là, prévoir les trajectoires exactes de missiles intercontinentaux, bien avant qu'ils n'aient atteint leur apogée. Et cetera.

Nous verrons dans mon prochain billet qu'il existe un autre avantage considérable du TCK par rapport aux LN : le transfert spatial d'une orbite à une autre.

HCl

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lundi 28 avril 2014

TCK : Théorème de la Cinématique Keplerienne

Il est maintenant possible d'énoncer le Théorème de la Cinématique Keplerienne, ou TCK. C'est bien un théorème, pas une théorie, contrairement aux autres explications de la gravitation, de Newton et d'Einstein.

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Dans mon billet précédent j'ai montré comment un mobile, doté d'une propriété cinématique simple, respecte les trois lois de Kepler. Réciproquement on peut affirmer que la vitesse de tout système, qui vérifie les trois lois de Kepler, est décrite par cette propriété cinématique. Expérimentalement, on constate qu'elle est vérifiable, sur tous les astres de l'univers, comme le théorème de Pythagore est vérifié, sur tous les trangles rectangles de l'univers. Notre formule cinématique, dont les propriétés sont mathématiquement démontrées, et expérimentalement vérifiées, possède donc toutes les caractéristiques nécessaires à acquérir le statut de théorème.

Un théorème, pas une théorie

J'énonce donc le Théorème de la Cinématique Keplerienne, ou TCK, comme suit :

Tout mobile dont la vitesse est l'addition d'une vitesse de rotation, de module constant, et d'une vitesse de translation, de module constant, respectera les trois lois de Kepler.

Sa vitesse s'exprime alors de la façon suivante :

$\vec v = \vec v_R + \vec v_T = \vec {\omega} \land \vec r + \vec v_T$ (1)
avec $\omega r = cste$ et $\vec v_T = \vec cste$

Dans cette formule $\vec v$ est la vitesse du mobile, $\vec v_R$ est la vitesse de rotation, $\vec v_T$ la vitesse de translation, $\vec r$ est le rayon vecteur joignant le foyer de la conique au mobile, et $\vec \omega$ est la fréquence de rotation.

J'ai bien posé un théorème, et pas une théorie. A l'inverse, Newton et Einstein ont du, chacun, poser des postulats, ce qui fait de leurs méthodes des théories, mais pas des théorèmes. Une théorie est critiquable, car basée sur des principes, humains, indémontrables, tandis que le théorème est basé sur une réalité géométrique mesurable. Ainsi, par exemple, la «Théorie des Cordes» fait l'objet d'un large débat, alors qu'il y a un consensus total sur le théorème de Pythagore. Que le TCK plaise ou non, il sera toujours une réalité objective, qu'aucun scientifique n'aura plus le droit d'ignorer.

Et la physique dans tout ça ?

Nous voici donc maintenant avec trois explications de l'existence des lois de Kepler : celle de Newton, celle d'Einstein et le TCK. On pourrait se demander la quelle choisir, mais ce serait faire fausse route.

Il n'est pas question de choisir entre les trois. En effet, d'un côté le TCK est forcément vrai, comme le théorème de Pythagore, que les théories de Newton et/ou d'Einstein soient vraies, ou pas. De l'autre, comme je l'ai montré dans mon premier billet le postulat d'équivalence d'Einstein est faux, principe qui est aussi valable dans la théorie newtonienne. Nous ne pouvons donc faire confiance qu'au TCK.

Cela veut-il dire qu'il n'y a rien de bon, et tout à jeter, dans les théories de Newton et d'Einstein ? Certes non, ne soyons pas manichéens. La théorie de Newton nous a permis la conquête spatiale, ce n'est pas rien. Elle doit donc receler une grande part de vérité, au moins dans sa formulation mathématique. D'ailleurs dans mon dernier billet je vous faisait remarquer que le TCK conduit à deux relations importantes, dans les quelles le terme newtonien $GM$, où $G$ est la constante de la gravitation universelle, et $M$ la masse du corps central, est remplacé par le terme $L v_R$, où $L$ est le moment angulaire constant et $v_R$ la vitesse de rotation constante. Ainsi la théorie de Newton est compatible avec le TCK si

$L v_R = GM$ (2)

Cette dernière relation est très intéressante. Elle fait correspondre un terme purement géométrique avec un terme purement physique. Il est temps en effet de constater qu'à aucun moment le TCK n'introduit la notion de masse, ni aucune autre notion physique. Cela signifie que le TCK est valable quelle que soit la masse du mobile. Et cela est parfaitement cohérent avec le fait que les mouvements, dans un champ de gravitation, sont indépendants de leurs masses. Cette caractéristique de la gravitation avait été découverte par Galilée, puis nommée « principe d'équivalence faible ». Je vous en ai déjà parlé dans un précédent billet, et rappelé que David Scott, astronaute de la NASA, l'a vérifié directement sur la lune. Et bien le TCK est structurellement fait pour répondre à ce principe, il en est même la cause.

Quoi qu'il en soit il ressort que le terme newtonien $GM$ est bel et bien une des clés de la gravitation, et nous verrons toute l'utilité de la relation (2), lorsqu'il s'agira de tracer des trajectoires spatiales. En revanche nous verrons aussi, un peu plus tard, que la théorie de Newton n'est pas cohérente avec la cinématique en ce qui concerne la chute des corps (légèrement) et la vitesse de rotation des galaxies (lourdement).

Mais avant cela nous allons voir ce qu'apporte concrètement le TCK, et que n'apporte pas la théorie de Newton.

HCl

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samedi 26 avril 2014

La cinématique qui explique Kepler

Il n'existe que deux méthodes pour expliquer les 3 lois de Kepler : les hypothèses de Newton et d'Einstein. Voici la troisième, qui n'est pas une hypothèse, ni une théorie, mais une simple propriété géométrique.

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Vous voyez ce qu'est une rotation uniforme ? C'est un mouvement qui décrit un cercle, à vitesse constante. Et une translation uniforme ? C'est un mouvement en ligne droite, à vitesse constante. Maintenant, voyez-vous la trajectoire d'un mobile qui serait à la fois en rotation uniforme et en translation uniforme ? Non ? Alors levez les yeux au ciel : tous les astres sont de tels mobiles. C'est ce que je vais démontrer dans ce billet.

Les trois lois de Kepler

Pour commencer il faut rappeler le fondement expérimental des lois de la gravitation, de Newton, puis d'Einstein. Ce sont les lois de Kepler.

Kepler était myope, et de ce fait, il ne pouvait participer aux observations astronomiques de l'observatoire qui l'employait, celui de Tycho BraheKepler. Mais il était bon en maths. Il fut donc employé à la constitution d'almanachs, destinés à la navigation, à partir des relevés astronomiques. A force de manipuler toutes ses données, Kepler était de plus en plus persuadé d'une structure héliocentrique du monde. En revanche Tycho Brahe est toujours resté certain de la validité du modèle géocentrique de Ptolémée. Il paraît que cela provoquait fréquemment des étincelles entre les deux hommes.

C'est 8 ans après la mort de Brahe, en 1609, que Kepler publie finalement ses deux premières lois. La troisième le sera en 1619. C'est définitivement la consécration du modèle héliocentrique. Ces lois sont les suivantes :

les planètes se meuvent sur des ellipses dont le soleil est un foyer,

l'aire balayée par leur rayon depuis le soleil, en un temps donné, est la même tout au long de la trajectoire, c'est la loi des aires,

La loi des aires : les surfaces S1 et S2 sont égales, et le temps pour les balayer sont identiques. $\textbf r$ est le rayon vecteur, $\rho$ est l'anomalie vraie, a et b sont respectivement le demi grand et le demi petit axe de l'ellipse.

le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du grand axe de l'ellipse.

Ces trois lois sont remarquables car, depuis, elles se sont révélées exactes, non seulement pour les planètes du système solaire, mais aussi pour tous leurs satellites … et tous les astres du ciel, même les étoiles au sein des galaxies. Pour être exact, pour que ces trois lois soient formellement applicables à tous les astres de l'univers, il faut remplacer le terme « ellipse » par « conique » et le terme « soleil » par « corps central ». Ainsi énoncées, les trois lois de Kepler s'appliquent à tous les astres de l'univers, comme le théorème de Pythagore s'applique à tous les triangles rectangles de l'univers. C'est la magie de la géométrie choisie par la nature, pour fabriquer l'univers.

Deux explications seulement

Tout cela est fort lyrique, mais une question se pose alors : pourquoi la nature a-t-elle choisi les lois de Kepler, plutôt que d'autres ? Quelle est la cause de cet effet observable ?

C'est Isaac Newton qui répondra le premier à cette question, en proposant l'hypothèse de l'attraction universelle. Et personne d'autre ne fera mieux, jusqu'à Albert Einstein. Ce dernier est le second à proposer une explication des trois lois de Kepler. Son hypothèse est celle de la Relativité Générale, qui est aujourd'hui la base conceptuelle fondamentale de la cosmologie moderne. L'hypothèse d'Einstein se confond avec celle de Newton pour des vitesses faibles devant celle de la lumière, et des masses faibles, au regard de celle d'un trou noir, par exemple. Ainsi dans la grande majorité de leurs études, les astrophysiciens utilisent la méthode de Newton, qui est la plus simple à mettre en œuvre.

Quoi qu'il en soit, ce sont aujourd'hui les deux seules méthodes connues pour expliquer les lois de Kepler. Nous allons maintenant en décrire une troisième, qui n'est pas une hypothèse, mais une propriété cinématique élémentaire.

Voici la troisième

Pour des raisons que je vous expliquerai plus tard dans ce blog, j'en suis arrivé à me demander quelle est la trajectoire d'un mobile dont la vitesse est l'addition d'une vitesse de rotation et d'une vitesse de translation, toutes deux de module constant (d'intensité constante). Mathématiquement la vitesse d'un tel mobile s'écrira simplement ainsi :

$ \vec v = \vec v_R + \vec v_T = \vec \omega \land \vec r + \vec v_T$
avec $v_R = \omega r = cste$ et $v_T = cste$ (1)

La figure suivante représente les vitesses caractéristiques du mouvement (1) :

Sur cette figure d'une ellipse, sont représentées deux situations différentes pour un satellite. La flèche jaune est le rayon vecteur. La flèche turquoise est la vitesse réelle du satellite. La flèche verte est la vitesse de translation $v_T$, toujours colinéaire au petit axe de l'ellipse. La flèche mauve est la vitesse de rotation $v_R$, toujours perpendiculaire au vecteur rayon.

Je vais vous épargner les démonstrations, trop mathématiques, de l'étude cinématique de la relation (1), que vous trouverez en détail dans ce document, pour en arriver à ses résultats les plus importants.

Tout d'abord on montre que le mobile possédant la vitesse (1) aura une conique pour trajectoire, dont l'excentricité vaut $e=v_T / v_R$, et le paramètre vaut $p=GM/v_r^2$, où G est la constante universelle de la gravitation, et M est la masse du corps central, situé au foyer de la conique. Ainsi lorsque $v_T=0$, la trajectoire est un cercle, c'est une ellipse si $v_T$<$v_R$, une parabole si $v_T=v_R$, et une hyperbole si $v_T>v_R$. Le mobile respecte donc la première loi de Kepler.
La vitesse (1) permet aussi de vérifier que le mobile aura un moment angulaire $L$ constant. Cette constance du moment angulaire impose que l'aire balayée par le rayon, en un temps donné, soit une constante, tout au long de la trajectoire. C'est exactement la seconde loi de Kepler.
Quant à la troisième, elle n'est qu'une conséquence de la seconde. On montre aisément que pour une trajectoire elliptique, il faut vérifier la relation suivante :
$L v_R = 4 \pi^2 a^3 / T^2$ (2)
où a est le demi grand axe de l'ellipse et T est la période de révolution. Cette expression est bien celle de la troisième loi, à condition que $L v_R$ soit une constante, ce qui est bien le cas.

Ainsi un mobile dont la vitesse est donné par la relation (1) obéit aux trois lois de Kepler.
Inversement, La vitesse de tous les astres qui suivent les lois de Kepler, peut être écrite sous la forme (1).

On peut noter que la propriété cinématique (1) ne fait appel à aucune notion de masse. Elle n'est que purement géométrique. Tout comme le théorème de Pythagore s'impose, quel que soit le matériau constituant le triangle rectangle. Et cela est totalement cohérent avec le principe d'équivalence faible, celui de Galilée, dont je vous ai parlé dans mon précédent billet : dans un champ de gravitation, tous les corps se meuvent indépendamment de leurs masses.

Enfin, on remarque que l'équation (2) est bien connue des praticiens de la méthode de Newton, à ceci près que le terme physique newtonien GM est ici remplacé par le terme qui est purement cinématique. La méthode de Newton est cohérente avec la cinématique si $L v_R = GM$.

Epilogue

Dans mon billet précédent j'ai montré que les théories de Newton et d'Einstein sont sujettes à caution, car elles respectent le principe d'équivalence, qui est s'avère expérimentalement faux. A contrario, la vitesse de tous les mobiles qui respectent les trois lois de Kepler, est donnée par l'équation (1), que les lois de Newton, et d'Einstein, soient vraies ou pas. C'est un fait géométrique qui est totalement indépendant de toute hypothèse physique, telle l'attraction universelle par exemple.

Si une hypothèse sur la gravitation est émise, quelle qu'elle soit, on comprend qu'il faudra avant tout qu'elle respecte les lois de la géométrie et de la cinématique, c'est à dire l'équation (1). Heureusement nous avons vu que la cinématique et la gravitation de Newton sont cohérentes si $L v_R = GM$. On peut donc "espérer" ...

Mais pas trop longtemps quand même, car nous verrons, plus tard dans ce blog que, les lois de Newton ne sont plus cohérentes avec la cinématique, dans le cas de la chute des corps, et celui de la vitesse de rotation des galaxies.

HCl

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jeudi 24 avril 2014

L'inéquivalence d'Einstein

On démontre expérimentalement que le principe d'équivalence d'Einstein est faux, car il s'oppose aux mouvements spatiaux réels. C'est pourtant le pilier de la relativité générale ... et de la gravitation newtonienne.

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Je travaillais sur des équations nécessaires au calcul de trajectoires spatiales, à vrai dire optimales, lorsque soudain, je me suis frappé le front. Mon simulateur refusait obstinément de me donner certaines trajectoires particulières. Après re-vérification de mes calculs, et consultation d'un des plus éminents spécialistes mondiaux^[1], il fallut bien se rendre à l'évidence : mes calculs étaient corrects, ces trajectoires ne sont pas possibles dans la réalité.

Oui mais voilà, si elles ne peuvent pas exister, alors le principe d'équivalence, qui est le postulat d'Einstein à la base de la relativité générale, n'est rien moins que faux. Est-ce possible ?
Je me propose de vous expliquer tout cela ici. Heureusement il n'est nul besoin d'équation pour comprendre ce qui se passe, surtout si vous avez vu le film «Gravity».

Ce que montre l'expérience

Imaginez un satellite autour de la Terre, sur une orbite parfaitement circulaire, avec une vitesse de rotation constante $v_0$, dictée par les lois de la gravitation^[2]. Est-il possible, par la poussée d'un moteur, de communiquer au satellite une vitesse différente de $v_0$, tout en restant sur la même trajectoire circulaire ?

La réponse est non^[1]. L'orbiteur prendra forcément une trajectoire conique (ellipse, parabole, …) différente du cercle, quelle que soient l'intensité et la direction de la poussée du moteur, comme le montre la figure suivante :

La trajectoire verte est la trajectoire circulaire du satellite, sa trajectoire naturelle. La trajectoire rouge est celle qu'on obtient si on accélère, tandis que la bleue est parcourue s'il y a décélération.

Par conséquent il est impossible par la poussée mécanique de "faire croire" à l'orbiteur que la planète autour de laquelle il gravite s'est alourdie. Ce serait en effet la seule possibilité pour aller plus vite sur la même orbite (voir équation^[2]). La poussée mécanique ne peut donc en aucun cas simuler la force de gravitation. Répétons le : aucune poussée mécanique ne peut être équivalente à la force de gravitation.

Cet énoncé, expérimentalement incontestable, est pourtant le parfait opposé du principe d'équivalence d'Einstein.

Défaut du principe d'équivalence d'Einstein

Einstein nous demande d'imaginer un observateur dans une capsule spatiale, sans hublot, loin de tout autre corps. Si la capsule est animée d'une accélération exactement égale à l'accélération naturelle de la gravitation, disons de la Terre (9.81m/s2), il ne pourra déterminer s'il est réellement en mouvement ou s'il est simplement posé à la surface de la planète. Dans les deux cas, selon Einstein, s'il lâche une balle, celle-ci tombera vers le sol de la même manière. Voyez la figure ci-dessous, et pour plus de détails Wikipedia : L'ascenseur d'Einstein.

L'ascenseur de gauche est tracté par un câble, ce qui lui impose une accélération vers le haut (flèche noire). A l'intérieur de l'ascenseur, un observateur lachant une balle, la verra tomber avec la même accélération, mais de sens opposé (flèche verte).
L'ascenseur de droite est posé sur la Terre. Si l'observateur lache aussi une balle, il observera le même mouvement que dans l'ascenseur de gauche.

Il imagine donc qu'il y a équivalence entre toutes les accélérations (c'est à dire les forces), celle due à la gravitation, comme toutes les autres, mécaniques par exemple. C'est le principe d'équivalence.

Il y a cependant un défaut dans cette expérience de pensée. En effet, que se passerait-il si les balles pouvaient chuter sur une longue distance, au lieu d'une simple hauteur d'homme ? Si la balle, vis à vis de la Terre, se comportait comme la Lune, qui est finalement une balle comme une autre, elle décrirait, tout comme elle, une conique dont la Terre occuperait un foyer. Cependant, vu la différence de vitesse, et de distance, la conique de la Lune est une ellipse, tandis que celle de la balle serait une parabole.

Si les balles lachées par les observateurs, dans les ascenseurs d'Einstein, pouvaient tomber sur de grandes distances, on constaterait que leurs mouvements sont différents, même s'ils semblent identiques au début.
L'ascenseur tracté mécaniquement imposerait une trajectoire rectiligne à la balle. En revanche, la balle de l'ascenseur posé sur la planète, si la terre lui était transparente, suivrait une conique dont le centre de la Terre est le foyer (sur l'image, une parabole). Comme la Lune, dont la conique est une ellipse.

Voilà ce qui doit se passer si tous les corps, la balle comme la Lune, se comportent de la même façon, indépendamment de leurs masses, dans le champ de gravitation de la Terre. C'est à dire s'ils respectent le principe d'équivalence ... de Galilée. Et celui là, on sait qu'il est exact, comme l'a montré l'astronaute David Scott, sur la Lune. Si "tourner autour de la Terre" c'est "parcourir une conique dont la Terre est un foyer", alors, ce n'est pas la Lune qui tombe vers la Terre comme la pomme, Monsieur Newton, c'est la pomme qui tourne autour de la Terre, comme la Lune. Je démontrerai cela plus en détail dans ce blog, et uniquement grâce à la cinématique.

L'astronaute pourra donc savoir s'il est dans un champ de pesanteur, à condition de pouvoir mesurer la trajectoire de la balle avec une très grande précision. En effet, la parabole de chute tend à être une droite localement, lorsque la distance au foyer est grande (6371 km pour la Terre). S'il parvient à réaliser cette mesure, il constatera bien une différence de nature entre la force gravitationnelle et la force mécanique. Avis aux expérimentateurs. C'est cette différence de nature qui rend impossible d'accélérer un satellite, sur son orbite circulaire, par la poussée mécanique d'un moteur.

Epilogue

Ceux qui prétendront désormais que le postulat d'équivalence d'Einstein est correct n'auront qu'une seule solution pour le prouver : montrer qu'on peut accélérer un orbiteur, tout en gardant sa trajectoire sur la même orbite circulaire. Le reste ne sera que vaines paroles.

Le principe d'équivalence est donc faux. Par conséquent la Relativité Générale ne peut pas être une solution satisfaisante pour expliquer la gravitation. Cela ouvre une brèche théorique inattendue dans la physique. Une brèche de taille, car la loi de la gravitation de Newton est la solution de la relativité générale pour des vitesses faibles (au regard de la vitesse de la lumière, ce qui est le cas pour la majorité des phénomènes astronomiques). Ces deux théories partagent donc le même postulat d'équivalence ... qui est faux. Par conséquent la gravitation newtonienne ne peut pas être, elle non plus, une solution satisfaisante pour expliquer la gravitation.

C'est toute notre conception de la gravitation qu'il faut revoir.

Et j'ai quelque chose de nouveau à proposer dans ce domaine. Rassurez-vous, ce n'est que de la géométrie. De la cinématique, pour être exact. Pas de postulat, ni d'hypothèse, ni de théorie nouvelle, pas de "si", pas de conditionnel, pas de mécanique quantique, même pas de matière noire, ni même de boson, rien de tout ça, mais de la simple géométrie. J'ai en effet constaté un fait géométrique, étonnant de simplicité, mais lourd de conséquences. Je vais l'exposer dans ce blog.

HCl

^[1] Emmanuel Trélat, Professeur à l'Institut Universitaire de France, auteur notamment de Mécanique céleste et contrôle de systèmes spatiaux, le 04/03/2014 :

Cher Monsieur,
A propos de votre question:
"Quelle poussée (en intensité et direction) doit-on appliquer à l'orbiteur pour qu'il reste sur cette même orbite circulaire, mais avec une vitesse supérieure (ou inférieure) à sqrt (GM/R0) ?"
je ne suis pas tout à fait sûr de la comprendre, car en 2D il n'y a qu'une seule orbite circulaire qui passe par un point donné (et même en 3D elles ont toutes la même vitesse \sqrt{mu_0/r}). La poussée à appliquer pour rester sur cette orbite circulaire est bien sûr la poussée nulle.

^[2] Pour ceux qui veulent la formule : $v_0 = \sqrt{GM/R}$, où G est la constante universelle de la gravitation, M est la masse du corps central, par exemple la Terre, et R est le rayon de la trajectoire circulaire. Si R doit rester constant, mais que $v_0$ doit augmenter, il faut que M augmente, puisque G est une constante universelle.

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