Imaginons N corps de masses différentes $m_i$, et situées à la distance $\vec r_i$ du centre de masse du système total. Introduisons un corps test, à la distance $\vec r$ du centre de masse, et demandons-nous quelle sera sa trajectoire, sous l'influence des N autres corps. C'est la définition du problème à N corps.
On sait que les lois de Newton permettent d'établir l'équation différentielle, du second degré, à résoudre pour obtenir la trajectoire finale :
Dans cette équation $\vec \gamma$ est l'accélération du corps test, et $G$ est la constante universelle de la gravitation. L'accélération du corps test est la somme des accélérationsprovoquées par chacune des N particules.
Malheureusement nul ne connaît de solution analytique générale à cette équation. Seuls des calculs approchés et des approximations numériques peuvent donner un résultat, toujours cher en calcul.
Passons maintenant à la loi de rotation universelle. Nous avons vu qu'en intégrant cette relation on doit retrouver la vitesse de rotation du TCK. Dès lors le problème à N corps, façon TCK, s'énonce ainsi :
avec $\omega_i = \sqrt{\frac{G m_i}{\|\vec r - \vec r_i\|^3}}$
Cette relation est certes une équation différentielle du premier degré, mais elle n'est pas plus soluble analytiquement que la précédente, celle de Newton. C'est l'intégration du produit vectoriel qui pose ici problème.
La suite
Je finis ici ce cycle consacré à la gravitation. Je vais maintenant entamer un second cycle, qui parlera de physique. Il est temps en effet de se demander pourquoi la nature privilégie le TCK. Or je n'ai présenté (presque) que de la cinématique, sans réel étude de physique. Il faut maintenant voir, dans la mécanique lagrangienne, comment la physique prévoit le TCK.
HCl
